没错，刚才的猜想是凭直觉和少量笔算搞出来的。

    要想验证自己的猜想，除了数学证明，最实用的方式就是对拍。

    所谓对拍程序，通俗的说法，就是数据比较器。

    方法很简单。

    将穷举暴力版本的代码，编译成可执行文件a；

    将运用了猜想，优化后的代码编译成b；

    然后编写一个随机数据生成器，命名为rand；

    接下来，就可以制作对拍程序了。

    代码的主体是个有限次的循环。

    循环体内部，核心部分是几个system（）函数。

    先调用“./rand“生成随机数据，存入s.in，再分别调用a、b，读取s.in，输出ut和ut两个文本文件。

    最后调用“ut“，进行比较。

    如果发现两个文本文件不一致，则说明优化后的程序有问题，于是提示错误信息以及出错原因。

    这就是对拍，号称最强的调试办法，比gdb之类的调试工具好用多了。

    江寒写完对拍之后，设了一个60000次的循环，花了2分多钟跑完一遍。

    结果没有输出任何错误信息，这表示自己的猜想是完全成立的。

    下一步，就该把优化后的代码扩展到高精度了。

    这一步对很多选手来说，都是个难点，很容易大意之下，写漏一些条件。

    比如位数的最大值处理得不好，或者犯下其他的小失误，就会导致运算出bug。

    倒也不一定完全不能运行，只是碰到特殊数据时，可能会得出不正确的输出。

    运气好的时候，也能正常得分，运气差一点，可能就会丢分了。

    高精度运算的基本原理，是模拟手工列竖式计算，其中要考虑数位对齐和进位、借位处理。

    这种代码在网上有的是，但运算效率上，那些比较常见的代码，就有点不敢恭维了。

    江寒在刷《noip宝典》的时候，自己研究出来了一种高精度算法，可以说是不传之秘，比网上能找到的示范代码，要精简和巧妙很多。

    在这道题里，江寒要做的就是模拟手算高精度乘除法。

    如果不打高精度，那么最多仅能满足40%的数据要求。

    这道题满分100，能看懂题目，并写出暴力算法，就能20分。

    能发现规律，写出快速排序，就能得到40分。

    对于实力有限，有自知之明的选手，做到这里就可以收手了。

    只有那些对自己足够自信，且能熟练编写代码进行高精度运算的人，才会继续改造算法，以冲击高分。

    高精度的乘法好写，除法就稍微有点难度了。

    这里又有两种选择，一个是写高精除高精，满足100%的输入数据要求。

    要么就退而求其次，被除数为高精度，除数为单精度，这样也可以满足至少60%的输入数据要求。

    写对高精除以单精，能得60分，写出高精除以高精，才有机会得到满分。

    但高精除以高精，是相当复杂的，一旦写错、写漏了条件，说不定反而得不偿失，连60分都得不到。

    所以，是保证到手60分，还是冒着浪费时间的风险，冲击一下满分？

    对于其他人来说，这当然是个艰难的抉择，但对于江寒来说，根本无需纠结。

    反正时间也有的是，当然是选择后者了。

    江寒花了大约半个小时，写出了双高精除法的版本，并调试通过。

    然后设计了几组极限数值，代入进去运算，结果与笔算结果完全一致。

    边界

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