七乘之，二百六十四而一。〕

    今有堑堵，下广二丈，袤一十八丈六尺，高二丈五尺。问积几何？答曰：四

    万六千五百尺。

    术曰：广袤相乘，以高乘之，二而一。

    〔邪解立方，得两堑堵。虽复方，亦为堑堵。故二而一。此则合所规棋。

    推其物体，盖为堑上叠也。其形如城，而无上广，与所规棋形异而同实。未闻所

    以名之为堑堵之说也。〕

    今有阳马，广五尺，袤七尺，高八尺。问积几何？答曰：九十三尺少半尺。

    术曰：广袤相乘，以高乘之，三而一。

    〔按：此术阳马之形，方锥一隅也。今谓四柱屋隅为阳马。假令广袤各一尺，

    高一尺，相乘，得立方积一尺。邪解立方，得两堑堵；邪解堑堵，其一为阳马，

    一为鳖。阳马居二，鳖居一，不易之率也。合两鳖成一阳马，合三阳马而

    成一立方，故三而一。验之以棋，其形露矣。悉割阳马，凡为六鳖。观其割分，

    则体势互通，盖易了也。其棋或修短、或广狭、立方不等者，亦割分以为六鳖。

    其形不悉相似。然见数同，积实均也。鳖殊形，阳马异体。然阳马异体，则不

    纯合。不纯合，则难为之矣。何则？按：邪解方棋以为堑堵者，必当以半为分；

    邪解堑堵以为阳马者，亦必当以半为分，一从一横耳。设以阳马为分内，鳖为

    分外。棋虽或随修短广狭，犹有此分常率知，殊形异体，亦同也者，以此而已。

    其使鳖广、袤、高各二尺，用堑堵、鳖之棋各二，皆用赤棋。又使阳马之广、

    袤、高各二尺，用立方之棋一，堑堵、阳马之棋各二，皆用黑棋。棋之赤、黑，

    接为堑堵，广、袤、高各二尺。于是中其广、袤，又中分其高。令赤、黑堑堵

    各自适当一方，高一尺，方一尺，每二分鳖，则一阳马也。其余两端各积本体，

    合成一方焉。是为别种而方者率居三，通其体而方者率居一。虽方随棋改，而固

    有常然之势也。按：余数具而可知者有一、二分之别，则一、二之为率定矣。其

    于理也岂虚矣。若为数而穷之，置余广、袤、高之数，各半之，则四分之三又可

    知也。半之弥少，其余弥细，至细曰微，微则无形。由是言之，安取余哉？数而

    求穷之者，谓以情推，不用筹算。鳖之物，不同器用；阳马之形，或随修短广

    狭。然不有鳖，无以审阳马之数，不有阳马，无以知锥亭之数，功实之主也。〕

    今有鳖，下广五尺，无袤；上袤四尺，无广；高七尺。问积几何？答曰：

    二十三尺少半尺。

    术曰：广袤相乘，以高乘之，六而一。

    〔按：此术者，臂节也。或曰：半阳马，其形有似鳖肘，故以名云。中破

    阳马，得两鳖。鳖之见数即阳马之半数。数同而实据半，故云六而一，即得。〕

    今有羡除，下广六尺，上广一丈，深三尺；末广八尺，无深；袤七尺。问积

    几何？答曰：八十四尺。

    术曰：并三广，以深乘之，又以袤乘之，六而一。

    〔按：此术羡除，实隧道也。其所穿地，上平下邪，似两鳖夹一堑堵，即

    羡除之形。假令用此棋：上广三尺，深一尺，下广一尺；末广一尺，无深；袤一

    尺。下广、末广皆堑堵之广。上广者，两鳖与一堑堵相连之广也。以深、袤乘，

    得积五尺。鳖居二，堑堵居三，其于本棋皆一为六，故六而一。合四阳马以为

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